引言：在时间 T 之后，以上分时 tH 和下分时 tL 为中心的 LP 头寸将在该范围内的概率是：

有关更多详细信息，请阅读下文。

为 Uniswap v3 LP 代币选择流动性范围可能很困难。在上面的例子中，部署的流动性将在 2500 以上转换为 100％ Dai，在 2400 以下转换为 100％ ETH。对于大幅价格波动，流动性头寸可能会遭受永久性损失，超出其定义范围的头寸将无法受益于资本增值。

由于在 Uniswap v3 中部署流动性相当复杂，因此用户可能会倾向于将他们的流动性与其他用户共享，并信任流动性头寸的主动管理。

然而，对于仍然想要管理自己头寸的用户，关于如何在 Uniswap v3 中最好地部署流动性存在几个问题：

1.中心价应该是多少？
2.上下刻度的值应该是多少？
3.给定资产的价格在一定时间后保持在指定价格范围内的可能性有多大？
4.持仓要多久？
5.现实的利润目标是什么？

在这篇文章中，我将尝试使用资产定价的数学模型以定量的方式回答这些问题。事实证明，这些问题的解决方案植根于几何布朗运动的行为。

资产估值的现代观点是任何工具包括股票、债券、期权、衍生品的价格都是随机的，并且随时间随机演变。

几何布朗运动。使用几何布朗过程对资产价格进行 500 次模拟。我们应该期望大部分轨迹保持在预期的移动范围内，见虚线部分。

具体而言，资产的定价具有漂移 μ 和波动率 σ 将由以下给出的随机偏微分方程 (PDE) 描述：

你可以将漂移 μ 视为预期的长期回报。例如，S＆amp；P500 在过去 50 年的平均年回报率约为 10％。因此，这种情况下的漂移项将为 0.1/年。

另一方面，波动率 σ 描述了在任何给定时刻的价格倾向于围绕该预期回报随机变化的程度。 S＆amp；P500 的历史波动率在 10％ 到 30％ 之间波动，具体取决于市场的泡沫程度。

每种资产的行为都不同，每种资产都有自己的漂移和波动性条款。加密资产的波动性可能比普通股票大得多，一些加密货币交易对甚至可能具有负漂移项。但是不管漂移值和波动率值如何，描述几何布朗运动的随机偏微分方程都可以精确求解并且有解：

这里，W_t 描述了布朗运动（也称为维纳过程）。维纳过程是从均值等于 0 且方差等于 1 的正态分布中采样的一系列数字。

如果我们选择像 Ether 这样的加密资产的波动率 σ 在每年 100％ 到 150％ 之间（使用来自 Genesis Volatility 或 Opyn 期权分析页面的数据）和每年小于 1％ 的漂移项 μ，那么大多数对于短时间间隔（例如 μ-σ²/2 ＝ 0.008 在这种情况下），上面表达式中的数字与 1 相比会有些小。

这意味着我们可以忽略乘以 t 的术语，泰勒展开指数函数得到：

请注意，维纳过程 W_t 在时间 T 后的平均位移仅为 ±√T。因此，加密资产在时间 T 后的预期移动是：

因此，如果要以 S0 价格开始创建 LP 头寸，则资产将有 68％ 的机会（即 1 个标准差）偏离起始价格小于 S0＊σ＊√T，要么上或下。

ETH 预期变动。历史 ETH 价格，预期在 7 月 25 日之后变动（来自 100 次模拟的结果）。从价格 S0 开始的预期走势应该是 ±S0＊σ＊√T，概率为 68％。

进一步扩展，它分别有 95％ 和 99.7％ 的机会保持在预期波动的 2 倍和 3 倍以内。

要点 1：在选择 LP 头寸范围时，必须考虑加密资产的预期走势和时间范围。时间 T 后资产的预期 1 标准差移动是 (S0σ√T)，其中 S0 是起始价格。

解决了几何布朗运动随机 PDE 后，我们接下来可以询问资产价格在时间 T 后最终落在 Uniswap LP 头寸的上下分时内的概率。

几何布朗运动和边界交叉。几何布朗运动保持在由上下刻度定义的范围内的概率是多少？

要回答这个问题，我们必须反转方程。 1 并求解 W_t 得到

因此，当价格从 S0 开始时，询问资产的价格何时会穿过价格 K ，相当于询问布朗运动将穿过 a＋b＊t 形式的移动边界的概率，其中 a ＝ 1/σ ln(K/S_0) 和 b ＝ -1/σ(μ-σ²/2)。

维纳过程和移动边界交叉。布朗运动以零为中心，方差等于 1。边界现在随着价格移动。

由于布朗运动/维纳过程比几何布朗运动更容易分析，我们可以使用维纳过程的概率密度函数精确地求解这个概率。

使用它来找出价格在时间 T（即头寸以“价内”结束）所定义的楔形内的概率，我们得到

其中 T ＝ (天数)/365 和 N(x) 是累积正态分布，由下式给出

这个表达式有点复杂，但我们可以首先假设上下分时以当前价格为中心，并且上下分时由比例因子 r 定义，使得：

然后，P(ITM) 的表达式可以用图形进行可视化，它将对应于均值为 0 和标准差为 1 的正态分布曲线下的面积：

结束 In-The-Money 的概率。选择一个 Uniswap LP 头寸，其范围定义为高于执行价 20％ 和低于执行价 20％ 会导致结束价内的概率取决于持续时间 T。在此图中，μ＝ 1％/年，σ＝ 100％ /年。

对于短持续时间 T，d0 项接近于零，上下边界收敛到 ＋/-ln(r)/σ√T。在这种情况下，头寸在价内结束的概率表达式简化为

由于这两项非常相似，我们可以将它们结合起来，将累积正态分布转化为误差函数，得到：

值得庆幸的是，这个表达式要简单得多，而且 erf 函数实际上可以在 Excel、Google Sheets 中计算，或者直接通过谷歌搜索来计算。

P(ITM) 的表达式应该帮助 LP 定义他们位置的范围。理想情况下，必须选择一个由比例因子定义的范围，以最大化价格保持在 LP 范围内并产生费用的可能性。

例如，我创建了下表以显示不同时间窗口和比例因子下以金钱结束的概率：

在以天为单位的各种持续时间和比例因子 r 内结束价内的概率。 1.001、1.006 和 1.02 的比例因子对应于 0.05％、0.3％ 和 1％ 费用层级的 1-tick 宽流动性。

因此，必须在考虑特定时间范围的情况下建立新的 LP 头寸。例如，一个非常狭隘的 LP 头寸如果在不到一天后被移除，可能会“逃避”无常损失。另一方面，在短时间内持有非常宽的 LP 头寸可能会过度稀释流动性并收取非常少量的费用。

要点 2：上/下分时与 LP 头寸的时间范围之间的关系可以用图形方式可视化，并且它收敛于 P(ITM) ＝ Erf(ln(r)/σ√(2T))。

在这篇文章中，我们推导出了资产将在时间 T 后在特定范围内结束的概率的表达式。我们发现可以使用相对简单的方程来预测加密资产的预期走势，并且我们推导出了一个表达式将帮助流动性提供者为其 LP 头寸选择范围的价内概率。

在写这篇文章时，我意识到有几个问题仍未得到解答。虽然我们计算了一个头寸在时间 T 后结束 ITM 的概率，那么在时间 T 之后花费 ITM 的时间比例呢？换句话说，对于给定的比例因子或范围，预期收取的费用是多少？

Uni v3 LP 头寸永不过期，因此价外的头寸可以成为 ITM，然后随着价格变动而返回。 LP 头寸每次这样做都会收取 0.3％ 的费用，这可能会在高度波动的条件下产生巨大的回报。这些掉期事件的预期回报是多少？

将 LP 头寸的回报分析为被覆盖的看涨期权也为预期回报增加了另一层复杂性。由于未来回报的潜力，LP 代币是否可以以溢价交换和定价的市场存在？

所有这些现象都会影响定价，并可能增加 LP 头寸的潜在回报。我将在本文的第 2 部分中介绍剩余的 LP 头寸回报。

原文作者：Guillaume Lambert

原文链接：A Guide for Choosing Optimal Uniswap V3 LP Positions, Part 1

什么是范围指令?

将范围订单视为可逆限价订单。在范围订单中，用户在特定价格范围内向池提供单边流动性。当资产的价格跨入该价格范围时，用户提供的流动性将转换为所需的资产。如果没有及时撤出流动性，当价格在交叉后重新回到池中时，所需的资产将转换回原始存入的资产。

提供当前价格范围之外的流动性

与范围顺序相同。一旦超出当前价格范围，只从一侧提供流动性，所提供的资产是随着价格进入新范围而被交易出池的资产。

在 v3 池中获取 2 个资产 ETH 和 DAI。

可能 — 止盈订单
如果 ETH 的价格相对于 DAI 上涨，则意味着 ETH 正在离开矿池，而 DAI 正在进入矿池。你可以下一个范围订单，以高于 ETH 到 DAI 的当前价格的价格点出售 ETH（或购买 DAI）。在这种情况下，因为你的 ETH 在你的限价订单中转换为 DAI，与池中 ETH 的流出相匹配。

不可能 — 买入止损单
你无法下订单购买 ETH（或出售 DAI）以试图资本化和“在上涨过程中买入”或“随着价格上涨而卖出”，因为只有 ETH 流出和 DAI 流入，所以流量不匹配。

可能 — 买入限价单
同样，如果 ETH 的价格相对于 DAI 下降（ETH 进入矿池，DAI 离开），你可以下一个范围订单，以低于 ETH 当前价格的价格点购买 ETH（或出售 DAI）到DAI，因为你的 DAI 将转换为 ETH，从而匹配资金流。

不可能 — 止损单
你无法下订单出售 ETH（或购买 DAI）以试图减少 ETH 相对于 DAI 价值的潜在损失，因为只有 DAI 流出和 ETH 流入，因此存在错配流入。

由于 V3 提供的集中流动性，价格在 V3 上的移动方式与它在 V2 上的移动方式略有不同。 V2 中计算价格的标准方式仍然适用于 V3，但仅适用于每个价格范围内，而不是整个矿池。在每个离散的价格区间，由于集中流动性模型，将为资产对提供不同数量的流动性，因此每个价格区间都有自己的价格曲线，根据该范围内的流动性计算。这意味着资产的价格变动不会像在 V2 中那样遵循单一曲线，而是曲线是每个区间的价格曲线的聚合。

原文作者：maki

原文链接：Common Questions on Uniswap V3